すっかり忘れていたことを思い出しました

こんな話題はどうでしょう？
興味を持っていただけるか、そんなの関係ね、となるか？
昔々の数学のお話です。

先日、こんな質問を受けました。
【 X>0のとき X＋3/X の最小値を求めなさい 】

あれまあ、やり方がさっぱり思い浮かびません。最小値といえば、二次関数や範囲のある三次関数で問われることが多いものです。あるいは三角関数で。

二次関数だと平方完成します。
X2乗＋6X ＋5 なら（X＋3）2乗−4 に直して、最小値は −4と出ます。

ところが既出の問題はどうやれば最小値に迫れるのかさっぱり方法が思い浮かびません。

「ちょ、ちょっと解答見せてくれる？」早々と兜を脱いじゃいました。
「えっ、相加平均・相乗平均？」

久しく思い起こしたことのなかった学習分野の応用問題でした。

正の数同士のとき、相加平均は相乗平均以上 という定理がありました。
相加平均とは足して２で割ったもの。
相乗平均とは掛けてルートをつけたものです。

例えば、２と４だと、相加平均は３、相乗平均はルート８で３のほうがルート８（2.828…）より大きいという訳です。

この定理は、（a−b）2乗 ≧ 0 から導けます。
展開すると a2乗−2ab＋b2乗 ≧ 0
a2乗＋b2乗 ≧ 2ab 両辺を２で割ると
（a2乗＋b2乗）÷ 2 ≧ ab
a2乗をA、b2乗をBと置き換えると
（A＋B）÷ 2 ≧ ルートAB が得られます。

こんなことすっかり忘れていました。
ということは、
（ X＋3/X ）÷ 2 ≧ ルートX × 3/X
X＋3/X ≧ 2 × ルート３
つまり X＋3/X は 2 ルート３以上なのです。
ということは最小値は 2 ルート３でした。

スマホ投稿だと数式がうまく表せないので、わかりにくくてイライラされたことでしょう。申し訳ありませんでした。

すっかり忘れていたことが蘇ってくると嬉しいものですので、思い切って記事にしてみました！



お付き合いいただき（あるいはお付き合いいただけなくても）ありがとうございました m(_ _)m