すっかり忘れていたことを思い出しました

こんな話題はどうでしょう？
興味を持っていただけるか、そんなの関係ね、となるか？
昔々の数学のお話です。

先日、こんな質問を受けました。
【 X>0のとき X＋3/X の最小値を求めなさい 】

あれまあ、やり方がさっぱり思い浮かびません。最小値といえば、二次関数や範囲のある三次関数で問われることが多いものです。あるいは三角関数で。

二次関数だと平方完成します。
X2乗＋6X ＋5 なら（X＋3）2乗−4 に直して、最小値は −4と出ます。

ところが既出の問題はどうやれば最小値に迫れるのかさっぱり方法が思い浮かびません。

「ちょ、ちょっと解答見せてくれる？」早々と兜を脱いじゃいました。
「えっ、相加平均・相乗平均？」

久しく思い起こしたことのなかった学習分野の応用問題でした。

正の数同士のとき、相加平均は相乗平均以上 という定理がありました。
相加平均とは足して２で割ったもの。
相乗平均とは掛けてルートをつけたものです。

例えば、２と４だと、相加平均は３、相乗平均はルート８で３のほうがルート８（2.828…）より大きいという訳です。

この定理は、（a−b）2乗 ≧ 0 から導けます。
展開すると a2乗−2ab＋b2乗 ≧ 0
a2乗＋b2乗 ≧ 2ab 両辺を２で割ると
（a2乗＋b2乗）÷ 2 ≧ ab
a2乗をA、b2乗をBと置き換えると
（A＋B）÷ 2 ≧ ルートAB が得られます。

こんなことすっかり忘れていました。
ということは、
（ X＋3/X ）÷ 2 ≧ ルートX × 3/X
X＋3/X ≧ 2 × ルート３
つまり X＋3/X は 2 ルート３以上なのです。
ということは最小値は 2 ルート３でした。

スマホ投稿だと数式がうまく表せないので、わかりにくくてイライラされたことでしょう。申し訳ありませんでした。

すっかり忘れていたことが蘇ってくると嬉しいものですので、思い切って記事にしてみました！



お付き合いいただき（あるいはお付き合いいただけなくても）ありがとうございました m(_ _)m

コメント 6

負の数も２乗で正の数ってやつわれわれの時代の数ⅡBだったっけ？
頭の体操楽しみました。
最近は、夜中にふっと目が覚めて些細なことから自らを卑下してろくでもない人間だったなあとため息つく日々を過ごしてますが、8月15日は敗戦日であり盆でありますから、菩提寺にお参りし自宅の仏壇に手を合わせ、戦死した伯父の遺影に無念を思い、生かされている自分に気付かされながらも悟り半ばの念仏してます。
諸仏と関わりながらの人生の思い出の一こまがよみがえりました。


by SUN FIRST (2020-08-18 11:57) 

SUN FIRST さん
＞負の数も２乗で正の数ってやつ・・・頭の体操楽しみました。
お付き合いいただきありがとうございます。
＞夜中にふっと目が覚めて・・・自らを卑下してろくでもない人間だったなあ
それは新型コロナ鬱ですよ、あるいは猛暑鬱。
＞8月15日は・・・菩提寺にお参りし自宅の仏壇に手を合わせ・・・
立派な人生やってますねぇ！
敬服してます！
by momotaro (2020-08-19 01:15) 

初めて聞いた言葉ばかりで全く理解できません
高校は私立文系コースでしたからねぇ・・・
by gonntan (2020-08-19 20:36) 

gonntan さん
＞初めて聞いた言葉ばかりで・・・
すみません、偏った話題で失礼しました。
解説したつもりで書いた記事が間違っていて、さっきそれに気づき、慌てて直しました。
by momotaro (2020-08-19 21:46) 

高校時代、｢やや複雑な因数分解｣で｢挫折｣して以来数学のない世界に住みたいと念じてきました（笑）ので、数学の楽しさ面白さを味わえたらと思ってはみても、いざ数字や数式を見ると、｢受容体｣が閉ざされていることを再々確認してしまいます（トホホ）
by kazg (2020-08-21 02:16) 

kazg さん
＞数学のない世界に住みたい・・・
あっ、ごめんなさい、せっかく素晴らしい世界に住んでいる人に変なことを思い出させてしまって！
＞数学の楽しさ面白さを味わえたら・・・
図に乗って手解きしたくなっちゃいますが、貴兄の場合、既に楽しみが多いと拝察しますので「自粛」します。
by momotaro (2020-08-21 02:40)